ৰামচে- কাছ- কুপমান্স আৰ্হি

বিকাশ অৰ্থনীতিত ৰামচে- কাছ- কুপমান্স আৰ্হি (Ramsey- Cass- Koopmans Model) এক সৰলীকৃত আৰ্হি যি চ'ল'- স্বান আৰ্হিৰ এক অধিক জটিল ৰূপ। এই আৰ্হি অৰ্থনীতিবিদ ৰামচেই ১৯২৮ত, কাছে ১৯৬৫ত আৰু কুপমান্সে ১৯৬৫ত বিকশিত কৰিছিল। আৰ্হিটোৰ উদ্দেশ্য হ'ল দীৰ্ঘম্যাদী অৰ্থনৈতিক বিকাশৰ কাৰণ আৰু গুণাগুণ ব্যাখ্যা কৰা। চ'ল'- স্বান আৰ্হিৰ দৰে এই আৰ্হিতো অৰ্থনীতিৰ মুঠ আয় নিৰ্ণয় কৰে মূলধন, শ্ৰম আৰু প্ৰযুক্তিয়ে। চ'ল' আৰ্হিৰ দৰেই প্ৰযুক্তি আৰু জনসংখ্যা বিকাশ দৰো স্থায়ী আৰু বাহ্যিকভাৱে প্ৰদান কৰা। এই আৰ্হিত পিচে, চ'ল' আৰ্হিৰ বিপৰীতে, সঞ্চয় আৰু বিনিয়োগৰ দৰ বাহ্যিকভাৱে প্ৰদান কৰা নহয়-- অৰ্থব্যৱস্থাৰ উপভোক্তা আৰু উৎপাদকে ক্ৰমে উপযোগিতা আৰু লাভ বৃহদায়ন কৰিবলৈ সিদ্ধান্ত গ্ৰহণ কৰে, আৰু সেই সিদ্ধান্তৰ ফলস্বৰূপে সঞ্চয় আৰু বিনিয়োগৰ দৰ নিৰ্ণয় হয়।

মূল ধাৰণা

ব্যৱসায়ৰ বাবে

এই আৰ্হিয়ে ব্যাখ্যা কৰা অৰ্থনীতিখনত প্ৰতিযোগিতামূলক বজাৰ আছে। অৰ্থনীতিখনত সসীম সংখ্যক উৎপাদক আছে, প্ৰত্যেকৰে উৎপাদন ফলন এনেধৰণৰ-- $Y=f(K,AL)$। ইয়াত Y, K, A, L ক্ৰমে আয়, মূলধনৰ স্তৰ, প্ৰযুক্তিৰ স্তৰ আৰু শ্ৰমৰ স্তৰ। ফলনত AL অন্তৰ্ভুক্ত, অৰ্থাৎ, এই উৎপাদন ফলন, হেৰড নিৰপেক্ষ। এই ফলনে Constant Returns to Scale মানি চলে, অৰ্থাৎ, $cY=f(cK,cAL),\mathrm{\forall }c>0$। প্ৰত্যেক উৎপাদকে Aৰ যিকোনো সময়ত স্তৰ বাহ্যিক গণ্য কৰে। $\dot{A}=gA$, য'ত g ধনাত্মক ধ্ৰুৱক।

গৃহস্থৰ বাবে

আমি ধৰি লওঁ যে, $\dot{L}=nL$। প্ৰত্যেক কালত, প্ৰত্যেক গৃহস্থই ১ একক শ্ৰম বিক্ৰী কৰে। নিজৰ ওচৰত থকা সকলো মূলধন গৃহস্থই ব্যৱসায়ক ভাড়াত দিয়ে। আৰম্ভণিতে, প্ৰত্যেক গৃহস্থৰ ওচৰত $K(0)/H$ মূলধন থাকে, য'ত K(0) কাল ০ৰ মুঠ মূলধনৰ স্তৰ আৰু H গৃহস্থৰ সংখ্যা, যি ধনাত্মক আৰু সসীম। প্ৰত্যেক কালত গৃহস্থই নিজৰ আয় এনেফৰে খৰচ কৰিবলৈ যত্ন কৰে যাতে আজীৱন উপযোগিতা বৃহদায়িত হওক। আজীৱন উপযোগিতা এনেধৰণৰ--

$U=\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\rho t}u(C(t))\frac{L(t)}{H}dt$

C(t) প্ৰত্যেক কালৰ উপভোগৰ স্তৰ, u তাৎক্ষণিক উপযোগিতা ফলন, $\rho$ অধৈৰ্যৰ দৰ। এই মূল্য যদি সসীম হ'বলৈ হয়, তেন্তে, তাৎক্ষণিক উপযোগিতাৰ দৰ এনেধৰণৰ হ'ব লাগিব--

$u(C(t))=\frac{C(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }$, $\theta >0$, $\rho -n-(1-\theta )g>0$।

$\theta$ এই ফলনৰ বাবে অনিশ্চয়তাত দেখা পোৱা ব্যৱহাৰৰ এক কাৰক, কিন্তু ৰামচে- কাছ- কুপমান্স আৰ্হিত অনিশ্চয়তা সন্নিৱিষ্ট নহয়। পিচে, $\theta$ৰ এই আৰ্হিৰ ক্ষেত্ৰত আন এক অৰ্থও আছে-- সেয়া হ'ল, $\theta$ই এই কথা নিৰ্ণয় কৰে, যে গৃহস্থ বিভিন্ন কালৰ মাজত উপভোগ হস্তান্তৰ কৰিবলৈ কিমান আগ্ৰহী। যদি $\theta$ প্ৰায় ০ৰ সমান, তেন্তে উপযোগিতা ফলনটো প্ৰায় ৰৈখিক, আৰু গৃহস্থই অধৈৰ্যৰ দৰ আৰু মূলধনৰ আয়ৰ দৰৰ মাজৰ পাৰ্থক্যৰ পৰা মুনাফা আদায় কৰিবলৈ উপভোগৰ স্তৰ ভালেমান সালসলনি কৰিবলৈ সাজু হ'ব, কোনো কালত একেবাৰেই কম উপভোগ কৰি আন কালত অত্যধিক উপভোগ। দেখাব পৰা যায় যে, এই ফলনৰ, ভিন ভিন কালৰ মাজৰ elasticity of substitution হ'ল $1/{\theta }^2$।

ব্যৱসায়ৰ আচৰণ

এই আৰ্হিত ব্যৱসায়ৰ আচৰণ অতিকৈ সৰল। প্ৰত্যেক কালত প্ৰত্যেক ব্যৱসায়ে শ্ৰম আৰু মূলধন প্ৰয়োগ কৰে, আৰু দুয়োকে দুয়োৰে প্ৰান্তিক অৱদানৰ সমান সূদৰ দৰ আৰু বেতন ক্ৰমে প্ৰদান কৰে। যিহেতু অৰ্থনীতিত প্ৰতিযোগিতামূলক বজাৰ আছে, প্ৰত্যেক ব্যৱসায়ৰ অৰ্থনৈতিক লাভ ০। Constant Returns to Scaleৰ বাবে, মূলধনৰ প্ৰান্তিক অৱদান $f^{\prime }(k)$, য'ত $f(k)=F(K/AL,1)$, $k=K/AL$। সেয়ে $r(t)=f^{\prime }(k(t))$ আৰু $w(t)=f(k(t))-k(t)f^{\prime }(k(t))$, যি ক্ৰমে মূলধনৰ আয়ৰ দৰ আৰু প্ৰতি প্ৰভাৱশালী শ্ৰম বেতন (জনমুড়ি বেতনক Aৰে ভাগ কৰি পোৱা যায়)।

গৃহস্থৰ আচৰণ

গৃহস্থৰ বাজেট সংহতি

যিহেতু প্ৰত্যেক গৃহত $L(t)/H$ সদস্য আছে, ঘৰৰ মুঠ শ্ৰম আয় হ'ল $W(t)L(t)/H$ আৰু উপভোগৰ খৰচ হ'ল $C(t)L(t)/H$। আৰম্ভণিতে, প্ৰত্যেক গৃহস্থৰ ওচৰত $K(0)/H$ মূলধন থাকে। সেয়ে গৃহস্থৰ বাজেট সংহতি নিৰ্ণয় কৰে এই অসমতাই--

$\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}C(t)\frac{L(t)}{H}dt$ $\le \frac{K(0)}{H}+$ $\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}W(t)\frac{L(t)}{H}dt$

$W(t)=Aw(t)$, $R(t)=\underset{\tau =0}{\overset{t}{\int }}r(\tau )d\tau$

মন কৰক যে যিকোনো সময় sত গৃহস্থৰ মুঠ মূলধন হ'ল--

$\frac{K(s)}{H}=$ $e^{R(s)}\frac{K(0}{H}+$ $\underset{t=0}{\overset{s}{\int }}{e}^{R(s)-R(t)}(W(t)-C(t))$ $\frac{L(t)}{H}dt$

এই কথা ব্যৱহাৰ কৰি, বাজেট সংহতি নিৰ্ণয় কৰা ওপৰৰ অসমতাক সৰলভাৱে এনেদৰেও লিখিব পৰা যাব--

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-R(s)}\frac{K(s)}{H}\ge 0$

এই ৰূপত স্পষ্ট হৈ পৰে যে গৃহস্থৰ আজীৱন-সম্পদৰ বৰ্তমানৰ মূল্য ঋণাত্মক নহয়। এই চৰ্তক no-Ponzi-game চৰ্তও বোলা হয়। এটি পঞ্জি খেল এনে অৱস্থা য'ত কোনো ব্যক্তিয়ে ঋণ লৈ আগুৱায়েই গৈ থাকে।

গহস্থৰ বৃহদায়নৰ সমস্যা

চ'ল'-স্বান আৰ্হিৰ দৰেই, এই আৰ্হিতো ALএৰে হৰণ কৰি বিশ্লেষণ কৰা সৰলতৰ। সেয়ে আমি বৃহদায়িত কৰিবলগীয়া ফলন-- অৰ্থাৎ আজীৱন উপযোগিতা আৰু বাজেট ৰেখাক এনে ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব লাগিব।

আমি উপযোগিতাৰে আৰম্ভ কৰোঁ। ধৰি লওক$c(t)=C(t)/A(t)$। তেন্তে,

$\frac{C(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }=\frac{(Ac(t){)}^{1-\theta }}{1-\theta }$

$=\frac{[A(0)e^{gt}{]}^{1-\theta }c(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }$

ইয়াক গৃহস্থৰ উপযোগিতা ফলনত ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ:

$U=\underset{1=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\rho t}\frac{C(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }\frac{L(t)}{H(t)}dt$

$=\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\rho t}[A(0{)}^{1-\theta }{e}^{(1-\theta )gt}\frac{c(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }]\frac{L(0)e^{nt}}{H}dt$

$=A(0{)}^{1-\theta }\frac{L(0)}{H}\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\rho t}{e}^{(1-\theta )gt}{e}^{nt}\frac{c(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }dt$

$=B\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\beta t}\frac{c(t{)}^{1-\theta }}{1-\theta }dt$,

$B\equiv A(0{)}^{1-\theta }L(0)/H$ আৰু $\beta =\rho -n-(1-\theta )g$। ধৰি লোৱা হয় যে $\beta >0$।

এতিয়া বাজেত ৰেখাৰ কথা চিন্তা কৰিব পৰা যায়। সময় tত মুঠ উপভোগ হ'ল $C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H$। ঠিক তেনেদৰে, সময় tত শ্ৰমৰ পৰা অহা মুঠ আয় $w(t)A(t)L(t)/H$ আৰু মুঠ মূলধনৰ মালিকী $k(0)A(0)L(0)/H$। সেয়েহে, গৃহস্থৰ বাজেট সীমাবদ্ধতাক এনেদৰেও প্ৰকাশ কৰিব পৰা যায়:

$\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}c(t)\frac{A(t)L(t)}{H}dt$ $\le k(0)\frac{A(0)L(0)}{H}$ $+\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}w(t)\frac{A(t)L(t)}{H}dt$

তদুপৰি, আমি জানোঁ যে, $A(t)L(t)=A(0)L(0)e^{(n+g)t}$। এই কথা ওপৰৰ অসমতাত ব্যৱহাৰ কৰি, আৰু তাৰ পাছত ওপৰৰ অসমতাৰ দুয়ো ফালে $A(t)L(t)$ৰে ভাগ কৰি, আম পাওঁ,

$\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}c(t)e^{(n+g)t}dt$ $\le k(0)+$ $\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-R(t)}w(t)e^{(n+g)t}dt$

অৱশেষত, যিহেতু K(s) আৰু $k(s)e^{(n+g)s}$ সমানুপাতিক, সেয়েহে, আমি বাজেট সংহতিৰ no-Ponzi-game ৰূপক এনেদৰেও লিখিব পাৰোঁ:

$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-R(s)}{e}^{(n+g)s}k(s)\ge 0$