মিনিমেক্স উপপাদ্যৰ উৎস চাওক

[[খেল সূত্ৰ]]ত '''মিনিমেক্স উপপাদ্য''' ({{Lang-en|Minimax theorem}}) এনে এক উপপাদ্য যিয়ে সেই চৰ্তসমূহ প্ৰদান কৰে, যি চৰ্ত পূৰ্ণ হ'লে [[মিন-মেক্স অসমতা]] এটি সমতাও হয়। এই ধাৰণাৰে, এনে প্ৰথম উপপাদ্য হ'ল [[জন ভন নিউমেন]]ৰ ১৯২৮ চনৰ মিনিমেক্স উপপাদ্য, যাক খেল সূত্ৰৰ আৰম্ভণি বুলিও অনেকে গণ্য কৰে। ভন নিউমেন আৰু মৰ্গেনষ্টাৰ্ণৰ গ্ৰন্থ "''এ থিয়ৰি অৱ গেমছ এণ্ড ইকনমিক বিহেভিয়াৰ''" ([[খেল (খেল তত্ত্ব)|খেল]] আৰু [[অৰ্থনীতি|অৰ্থনৈতিক]] আচৰণৰ এটি তত্ত্ব)তেই খেল সূত্ৰৰ জন্ম বুলি অনেকে মত প্ৰকাশ কৰে। এই প্ৰথম উপপাদ্যৰ পাছত অনেক গৱেষকে এই উপপাদ্যৰ কেইবাটাও সাধাৰণ ৰূপ প্ৰস্তুত কৰি উলিয়াইছে।<ref>{{cite book|editor1-last=Du|editor1-first=Ding-Zhu|editor2-last=Pardalos|editor2-first=Panos M.|title=Minimax and Applications|date=1995|publisher=Springer US|location=Boston, MA|isbn=9781461335573}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Brandt|first1=Felix|last2=Brill|first2=Markus|last3=Suksompong|first3=Warut|year=2016|title=An ordinal minimax theorem|journal=Games and Economic Behavior|volume=95|pages=107–112|doi=10.1016/j.geb.2015.12.010|arxiv=1412.4198}}</ref>

== শূন্য যোগফলৰ খেল ==
[[File:Saddle point.svg|thumb|The function ''f''(''x'',''y'')=''x''<sup>2</sup>-''y''<sup>2</sup> is concave-convex.]]

মিনিমেক্স উপপাদ্য পোণপ্ৰথমে ১৯২৮ চনত জন ভন নিউমেনে প্ৰমাণ কৰিছিল আৰু ছপা কৰিছিল।<ref>{{cite journal |last=Von Neumann |first=J. |title=Zur Theorie der Gesellschaftsspiele |journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]] |volume=100 |year=1928 |pages=295–320 |doi=10.1007/BF01448847 }}</ref> তেওঁ কৈছিল "মই যিমান দূৰ চাওঁ, মিনিমেক্স উপপাদ্য অবিহনে.... খেল সূত্ৰৰ অস্তিত্ব অসম্বৱ.... এই উপপাদ্য প্ৰমাণ নোহোৱালৈকে মই ভাবিছিলোঁ ছপা কৰোৱাৰ যোগ্য একো নাই"।<ref name=Casti>{{cite book
|author=John L Casti
|title=Five golden rules: great theories of 20th-century mathematics – and why they matter
|url=https://archive.org/details/fivegoldenrulesg00cast/page/19
|publisher=Wiley-Interscience
|location=New York
|year=1996
|page=[https://archive.org/details/fivegoldenrulesg00cast/page/19 19]
|isbn=978-0-471-00261-1
|url-access=registration
}}</ref>

আনুষ্ঠানিকভাৱে, ভন নিউমেনৰ মিনিমেক্স উপপাদ্যৰ মতে:

ধৰি লওক <math>X \subset \mathbb{R}^n</math> আৰু <math>Y \subset \mathbb{R}^m</math> কম্পেক্ট আৰু উত্তল সংহতি। যদি <math>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}</math> এটি নিৰন্তৰ অৱতল-উত্তল ফলন, অৰ্থাৎ,

: <math>f(\cdot,y):X\rightarrow\mathbb{R}</math> ফলন স্থায়ী <math>y</math>ৰ বাবে অৱতল, আৰু
: <math>f(x,\cdot):Y\rightarrow\mathbb{R}</math> ফলন স্থায়ী <math>x</math>ৰ বাবে উত্তল,

তেন্তে আমি পাম,

: <math>\max_{x\in X}\min_{y\in Y} f(x,y)=\min_{y\in Y}\max_{x\in X}f(x,y).</math>

===উদাহৰণ===
যদি খেলুৱৈৰ ওচৰত উপলব্ধ ৰণনীতিৰ সংখ্যা সসীম, অৰ্থাৎ উপযোগিতাৰ মৌলকক্ষ <math>A</math> সসীম, তেন্তে সেই যদি সেই মৌলকক্ষৰ বাবে <math>f(x,y) = x A y^{T}</math>, তেন্তে, আমি পাওঁ:

: <math>\max_{x \in X}\min_{y \in Y} x A y^{T} =\min_{y \in Y}\max_{x \in X} x A y^{T} </math>

যিকোনো মৌলকক্ষ <math>A</math> ৰ বাবে।

== লগতে চাওক ==
* [[নাশ্ব সাম্যাৱস্থা]]
* [[উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব]]
* [[উৎপাদকৰ আচৰণৰ তত্ত্ব]]
* [[মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্য]]

== তথ্য সংগ্ৰহ ==
{{Reflist}}

[[শ্ৰেণী:গণিত]]
[[শ্ৰেণী:অৰ্থনীতি]]